Eroon portaista – matematiikka

Tässä esittelen ehdottamani verofunktion muodon ja sille hieman perusteluja. Kerron myös, millaiseen tulojakaumaan tein verolaskuni. Sivun lopussa on linkki nämä laskut sisältävään Excel-tiedostoon.

Ensin verofunktio. Idea lähtee siitä, että progressiivinen veroprosentti on pienillä tuloilla melko tasaisesti kasvava, mutta se ei voi kasvaa rajatta, koska veroaste on väistämättä rajoitettu yläosastaan. Sataa prosenttia suurempia veroja kun ei kovin pitkään voi periä. Verofunktion perusmuodon pitää siis ottaa tämä huomioon. Matematiikassa on funktio, joka käyttäytyy juuri näin: hyperbolinen tangentti f(x)=tanh(x). Kun x on paljon pienempi kuin yksi, funktio käyttäytyy lineaarisesti (eli f(x)=x). Sen sijaan ykköstä paljon suuremmilla x:n arvoilla funktio saturoituu kohti ykköstä. Funktion kuvaaja löytyy tuolta tanh-funktiosta linkittämältäni Wikipedia-sivulta.

Veroportaiden nykymuotoa katsomalla aika nopeasti huomaa, että pienillä tuloilla lineaarisen kasvun sijaan veroprosentti kasvaakin suurin piirtein tulojen neliöjuuressa. Otetaan tämä siis huomioon käyttämällä funktiota tanh(neliöjuuri(x)). Koska suurella x:n arvolla funktio antaa edelleen ykkösen, veroprosenttia laskettaessa tuota funktiota pitää kertoa maksimiveroprosentilla m, jota kohti veroprosentti menee sitä kuitenkaan koskaan täsmälleen saavuttamatta.

Mutta mikä on x? Sen pitää tietenkin pitää sisällään euromääräiset tulot, normalisoituna jollain euromäärällä. Tuota euromäärää kutsun kulmatuloksi h (aiemmin ”hyväosaisen tulo”, mutta se oli liian latautunut termi), koska jos tulot ylittävät tuon euromäärän, veroprosentti on jo melko korkea, eikä enää pysty kasvamaan paljoa tulojen kasvaessa. Käytännössä tuolla tulomäärällä t=h veroprosentti on tanh(1)=0,76 eli noin ¾ kertaa maksimiveroprosentti. Nyt siis saatiin veroprosentiksi kaava

Veron määrä on siis v=prosentti kertaa tulot. Otetaan vielä mukaan perustulo. Periaatteessa voisi ajatella, että tuo vähennetään vain noista veroista. On kuitenkin parempi verottaa perustulo osittain pois progressiivisena verotuksena, jotta ero nykysysteemiin ei kasva liian suureksi. Toisin sanoen, lisätään perustulo myös tuloon t tuolla tanh-funktion sisällä. Tekstissä käyttämäni verofunktio on siis muotoa

Negatiivinen veron määrä tarkoittaa siis yhteiskunnan tukea. Tuolla tavoin ilmoitettuna perustulo p ja kulmatulo h pitää ilmoittaa halutussa aikayksikössä, jossa myös tuo t ilmoitetaan (esim. tulot kuukaudessa tai vuodessa). Perustulon tosin voi ilmoittaa myös prosenttina kulmatulosta, koska kaikki euromääräiset parametrit ovat alttiita inflaatiolle, eli niitä pitää korjata ajan myötä. Perustulon inflaatiokorjaus toteutuisi parhaiten kiinnittämällä se joksikin prosentiksi kulmatulosta.

Lisäksi olisin voinut neliöjuuren sijaan valita ylimääräiseksi parametriksi yleisemmän progression voimakkuuden, jossa tuo funktio olisi ollut muotoa

              

missä eksponentti e mittaisi progression voimakkuutta (yllä oleva esimerkki vastaa valintaa e=1/2). Tuo on kuitenkin minusta melko turha lisäys, ja sotii pääperiaatettani eli yksinkertaisuutta vastaan. Verofunktion etuna on nimenomaan, että kunhan muistaa noiden parametrien m, h, ja p kulloisenkin arvon, pystyy milloin vain laskemaan veronsa vaikkapa kännykässä olevalla laskimella. Olisi myöskin hyvin helppo koodata kännykkäsovellus, joka tämän tekee sen lisäksi, että sillä sovelluksella voisi testata erilaisia veromalleja.

Sitten siihen tulojakaumaan. Totta puhuen tässä mulla kesti joitain tunteja, koska en ollut oikein varma, miten asia kannattaa hoitaa. Parhaimmillaan valtionvarainministeriö tuottaisi joka vuosi melko tarkan tulojakauman, johon veromalleja voisi testata. Koska minulla tuollaista ei ollut, halusin esitellä verofunktion käyttöä helpommalla tavalla: Hain  tilastokeskuksen sivuilta tietoa suomalaisten tulojakaumasta. Ajankohtaisin tieto löytyi tuossa vaiheessa vuodelta 2015 ja melko karkeasti jaoteltuna. Sovitin tulojakaumaan (”silmämunasovituksella”, eli katsomalla, tuo on sen verran karkea sovitus, että tarkempi eli pienimmän neliösumman sovitus ei olisi tuottanut olennaisesti parempaa tietoa) normaalijakauman. Sovitus on ihan kohtalainen:

 

Tulojakaumani siis hieman yliarvioi keskituloisten määrää. Tämä tuskin on kovin olennaista, mutta suurituloisten (vuositulot selvästi enemmän kuin 60000 euroa) määrää se aliarvioi reippaasti. Tämä hieman saattaa vaikuttaa pessimistisesti perustuloa koskeviin arvioihini. Lisäksi ilmeisesti tuossa tilastokeskuksen taulukossa ovat sekä palkka- että pääomatulot, joten se ei siksikään ole täysin sopiva referenssi palkkatulojen verotuksen arviointiin.

Tuota sovittamaani tulojakaumaa käytin sitten ensinnä nykyisiin veroportaisiin saadakseni tuolla jakaumalla vertailukohdan verojen kokonaismäärään. Tuota kokonaismäärää – noin 34 miljardia euroa – ei kannata verrata nykyiseen verotuottoon, koska tulojakauma ei ole todellinen, eikä edes ylläolevien käyrien integraali (niiden määrä, joilla joitain tuloja on) ole sama. Se toimii kuitenkin hyvänä vertailukohtana verofunktioon. Tämän jälkeen sitten kokeilin verofunktiotani samalla tulojakaumalla kiinnittäen nettotuoton, eli verojen kokonaismäärän plus negatiivisten verojen määrän – jälkimmäisethän vähentäisivät veroilla maksettuja tulonsiirtoja. Käytännössä pääsin muutaman miljoonan päähän veroportailla tuotetusta – se riittää, koska mallissa olevat virheet ovat paljon suurempia.

Yksi pieni asia vielä nykyisistä veroportaista. Periaatteessa portaiden alkuvaiheeseen liittyy kaikenlaisia pienituloisen ”tukia” – esimerkiksi verotus alkaa vasta, kun tuloja on tarpeeksi. En ottanut noita huomioon sovituksessa, ihan hirveästi ne eivät tuota verofunktion muotoa muuttaisi. Mutta yhden asian otin huomioon: perusvähennyksen 750 euroa vuodessa. Lisäsin siis kaikkien palkkaan 750 euron verottoman osan. Tämä vähän loivensi tuota nykyistä verojakaumaa alkupäästään – muutoinhan pieni veroprosentti olisi 7,8 heti ensimmäisistä tuloista lähtien.

Laskuni löytyvät tässä linkissä olevasta Excel-tiedostosta. Yritin liittää sen myös Google Docsiin, mutta sivustolla oleva taulukkolaskin ei näytä tuntevan normaalijakaumafunktiota. Ensimmäisellä välilehdellä voi kokeilla erilaisia veromalleja muuttamalla laatikossa olevia parametreja. Verojakauman ja sen vertailun nykyportaisiin saa näkyviin samalla sivulla olevaan käyrään. Toisella välilehdellä on tuo itse vertailu, ja esim. sarakkeesta K näkee mikä sarakkeella E olevasta bruttotulosta seuraava nettotulo olisi. Kolmannella välilehdellä on tuo tulojakauman sovitus.

(7.2. 2018 pieni lisäys.) Tuosta verofunktiosta voidaan muuten laskea myös marginaaliveroprosentti, eli verojen määrän derivaatta tulojen suhteen. Se saadaan laskettua analyyttisesti, tulos on

 

 

Ensimmäinen osa on pelkkä veroprosentti (ilman perustulo-osaa), toinen johtuu itse progressiosta eli siitä, että veroprosentti kasvaa tulojen kasvaessa. Tarkastellaan erityisesti pienituloisia, eli tilannetta, jossa p+t on paljon pienempi kuin h. Tällöin tuo cosh-osa voidaan korvata ykkösellä, tanh-funktio lineaarisella funktiolla, ja marginaalivero menee muotoon

 

 

Pienillä tuloilla (t paljon pienempi kuin p) ainoastaan ensimmäinen termi on olennainen. Marginaalivero voi kuitenkin joissain malleissa nousta kohtalaiseksi, kuten toisessa blogissani kerron.

Sen sijaan keskituloisilla (käytännössä tapaus, jossa p+t on jonkin verran yli h:n) marginaalivero voi nousta jonkin verran yli maksimiveroprosentin. Näin taitaa käydä nykyäänkin.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *